Question

已知圓M：（x+1）²+y²=8，定點(diǎn)N（1，0），點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，若Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿(mǎn)足．
（I）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
（II）直線l過(guò)點(diǎn)P（0，2）且與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設(shè)知GP|=|GN|，，由|MN|=2知G是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，由此能求出點(diǎn)G的軌跡C的方程．
（II）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），由得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，由直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，再由根的判別式的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
解答：解：（I）∵
∴|GP|=|GN|
∴
∵|MN|=2
∴G是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓
設(shè)曲線C：，得a²=2，b²=1
∴點(diǎn)G的軌跡C的方程為：（6分）
（II）由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=kx+2A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由得：（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，
∴
由根與系數(shù)關(guān)系得
令
∴
當(dāng)且僅當(dāng)，即m=2時(shí)，，此時(shí)
∴所求的直線方程為（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意根的判別式的根與系數(shù)的關(guān)系的合理運(yùn)用．