Question

某廠家擬在2013年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用m（m≥0）萬元滿足x=3-

k

m+1

（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件．已知2013年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用）．
（1）將2013年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2013年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？

Answer 1

分析：（1）由題目中產(chǎn)品的年銷售量x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)關(guān)系式為：x=3-

k

m+1

，當(dāng)m=0時(shí)，x=1，可得k的值，即得x關(guān)于m的解析式；又每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5倍的成本，可得利潤y與促銷費(fèi)用之間的關(guān)系式；
（2）對（1）利潤函數(shù)解析式進(jìn)行變形，進(jìn)而利用基本不等式求最大值即可．

解答：解：（1）由題意知，當(dāng)m=0時(shí)，x=1，
∴1=3-k，即k=2，
∴x=3-

2

m+1

；
每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×

8+16x

x

（萬元），
∴利潤函數(shù)y=x[1.5×

8+16x

x

]-（8+16x+m）
=4+8x-m=4+8（3-

2

m+1

）-m
=-[

16

m+1

+（m+1）]+29（m≥0）．
（2）因?yàn)槔麧櫤瘮?shù)y=-[

16

m+1

+（m+1）]+29（m≥0），
所以，當(dāng)m≥0時(shí)，

16

m+1

+（m+1）≥2

16

=8，
∴y≤-8+29=21，當(dāng)且僅當(dāng)

16

m+1

=m+1，即m=3（萬元）時(shí)，y_max=21（萬元）．
所以，該廠家2013年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大，最大為21萬元．

點(diǎn)評：本題考查了商品利潤函數(shù)模型的應(yīng)用，也考查了基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）的靈活運(yùn)用，是中檔題目．