Question

如圖一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n（n≥3，n∈N）等份，種植紅、黃、藍三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．如圖所示圓環(huán)分成的n等份為a₁，a₂，a₃，…，a_n，有多少不同的種植方法

1. A.
   2ⁿ-2•（-1）^n-3種（n≥3）
2. B.
   2ⁿ-2•（-1）^n-2種（n≥3）
3. C.
   2ⁿ⁺¹-2•（-1）^n-3種（n≥3）
4. D.
   2^n-1-2•（-1）^n-3種（n≥3）

Answer 1

A
分析：法1：由題意知圓環(huán)分為n等份，做法同前兩種情況類似，對a₁有3種不同的種法，對a₂、a₃、、a_n都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證a₁與a_i（i=2、3、、n-1）不同顏色，但不能保證a₁與a_n不同顏色．在這種情況下要分類，一類是a_n與a₁不同色的種法，另一類是a_n與a₁同色的種法，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結果；
法2：特值法，令n=3，易得此時的種法，依次計算選項的值，驗證可得答案．
解答：法1：圓環(huán)分為n等份，對a₁有3種不同的種法，對a₂、a₃、、a_n都有兩種不同的種法，
但這樣的種法只能保證a₁與a_i（i=2、3、、n-1）不同顏色，但不能保證a₁與a_n不同顏色．
于是一類是a_n與a₁不同色的種法，這是符合要求的種法，記為S（n）（n≥3）種．
另一類是a_n與a₁同色的種法，這時把a_n與a₁看成一部分，相當于對n-1部分符合要求的種法，記為S（n-1）．
共有3×2^n-1種種法．
這樣就有S（n）+S（n-1）=3×2^n-1．
即S（n）-2ⁿ=-[S（n-1）-2^n-1]，則數(shù)列{S（n）-2ⁿ}（n≥3）是首項為S（3）-2³公比為-1的等比數(shù)列．
則S（n）-2ⁿ=[S（3）-2³]（-1）^n-3（n≥3）．
由（1）知：S（3）=6
∴S（n）-2ⁿ+（6-8）（-1）^n-3．
∴S（n）=2ⁿ-2•（-1）^n-3．
法2：特值法
令n=3，易得此時的種法有A₃³=6種，
依次計算選項的值，驗證可得A符合，
故選A，
點評：本題考查的是排列問題，把排列問題包含在實際問題中，解題的關鍵是看清題目的實質，把實際問題轉化為數(shù)學問題．