Question

已知直線l：y=kx+1，圓C：（x-1）²+（y+1）²=12．
（1）試證明：不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）求直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立直線l與圓C方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式恒大于0，得到不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)直線與圓相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），表示出直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)，設(shè)t=

4k+3

1+k2

，討論出t的最大值，即可確定出弦長(zhǎng)的最小值．

解答：解：（1）由

y=kx+1 (x-1)2+(y+1)2=12

，消去y得到（k²+1）x²-（2-4k）x-7=0，
∵△=（2-4k）²+28k²+28＞0，
∴不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）設(shè)直線與圓相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=2

8-4k+11k2 1+k2

=2

11- 4k+3 1+k2

，
令t=

4k+3

1+k2

，則有tk²-4k+（t-3）=0，
當(dāng)t=0時(shí)，k=-

3

4

；
當(dāng)t≠0時(shí)，由k∈R，得到△=16-4t（t-3）≥0，
解得：-1≤t≤4，且t≠0，
則t=

4k+3

1+k2

的最大值為4，此時(shí)|AB|最小值為2

7

，
則直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為2

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：直線與圓的交點(diǎn)，兩點(diǎn)間的距離公式，根的判別式，以及一元二次方程的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．