Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求證:當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立;

(2)求函數(shù)的極值;

(3)當(dāng)時(shí),若存在且,滿(mǎn)足,求證:.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)極小值,無(wú)極大值. (3)見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，即，函數(shù)單調(diào)遞增，得到證明.

（2），討論和兩種情況，分別計(jì)算極值得到答案.

（3）在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)不成立，不防設(shè)

，計(jì)算得到，即證，設(shè),只需證，計(jì)算最值得到證明.

(1)

,,

在上為增函數(shù),

所以當(dāng)時(shí),恒有成立;

(2)由

當(dāng)在上為增函數(shù),無(wú)極值

當(dāng)

在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),

有極小值,無(wú)極大值,

綜上知:當(dāng)無(wú)極值,

當(dāng)有極小值,無(wú)極大值.

(3)當(dāng)在上為增函數(shù),

由(2)知,當(dāng),在上為增函數(shù),

這時(shí),在上為增函數(shù),

所以不可能存在,

滿(mǎn)足且

所以有

現(xiàn)不防設(shè)得:

①

②

由①②式可得:

即

又

③

又要證即證

即證……④

所以由③式知,只需證明:即證

設(shè),只需證,即證:

令

由在上為增函數(shù),

成立,

所以由③知,成立,

所以成立.