Question

設函數(shù)f（x）=

2

3x+5

+lg

3-2x

3+2x

，
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明；
（3）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x），問函數(shù)y=f^-1（x）的圖象與x軸有交點嗎？若有，求出交點坐標；若無交點，說明理由．

Answer 1

分析：（1）讓分母不為0且真數(shù)大于0求解即可．
（2）把f（x）分成兩個函數(shù)，分別求單調(diào)性，再利用復合函數(shù)的單調(diào)性即可．
（3）利用函數(shù)與其反函數(shù)之間定義域與值域的關系，把函數(shù)y=f^-1（x）的圖象與x軸有無交點的問題轉化為f（x）與y軸的交點問題即可．

解答：解：（1）由3x+5≠0且

3-2x

3+2x

＞0，解得x≠-

5

3

且-

3

2

＜x＜

3

2

．取交集得-

3

2

＜x＜

3

2

．
（2）令μ（x）=3x+5，隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)；

3-2x

3+2x

=-1+

6

3+2x

隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)．
又y=lgx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，y=lg

3-2x

3+2x

是減函數(shù)，所以f（x）=

2

3x+5

+lg

3-2x

3+2x

是減函數(shù)．
（3）因為直接求f（x）的反函數(shù)非常復雜且不易求出，于是利用函數(shù)與其反函數(shù)之間定義域與值域的關系求解．
設函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）與x軸的交點為（x₀，0）．根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)之間定義域與值域的關系可知，f（x）與y軸的交點是（0，x₀），將（0，x₀）代入f（x），解得x₀=

2

5

．
所以函數(shù)y=f^-1（x）的圖象與x軸有交點，交點為（

2

5

，0）．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的定義域，單調(diào)性和互為反函數(shù)的兩函數(shù)之間的關系．在求復合函數(shù)的單調(diào)性時，遵循的原則是單調(diào)性相同復合函數(shù)為增函數(shù)，單調(diào)性相反復合函數(shù)為減函數(shù)．