Question

已知a₁=1，點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+4x+2的圖象上，其中n=1，2，3，4，…
（1）證明：數(shù)列{lg（a_n+2）}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n+2}的前n項積為T_n，求T_n及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）已知b_n是與的等差中項，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）點（a_n，a_n+1）代入函數(shù)關(guān)系式整理可得a_n+1+2=（a_n+2）²，兩邊取對數(shù)求得lg（a_n+1+2）=2lg（a_n+2）
判斷出{lg（a_n+2）}是等比數(shù)列．
（2）根據(jù)數(shù)列{lg（a_n+2）}的通項公式求得a_n，進而利用等比數(shù)列的求和公式求得lgT_n，進而求得T_n．
（3）根據(jù)題意知整理求得b_n=＞進而可判斷出S_n≥S₁同時利用＜進而證明原式．
解答：（1）證明：由已知a_n+1=a_n²+4a_n+2，
∴a_n+1+2=（a_n+2）²
∵a₁=1⇒a_n+2＞1，兩邊取對數(shù)，得lg（a_n+1+2）=2lg（a_n+2）
∴{lg（a_n+2）}是等比數(shù)列，公比為2，首項為lg（a₁+2）=lg3
（2）解：由（1）得，
∴，
∵lgT_n=lg[（a₁+2）（a₂+2）（a_n+2）]=lg（a₁+2）+lg（a₂+2）+…+lg（a_n+2）=
∴
（3）解：
∵
==
顯然b_n＞0，
∴，
又，
∴．
點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，不等式的應(yīng)用，數(shù)列的求和等問題．考查了學(xué)生推理能力和運算能力．