Question

（2012•揚(yáng)州模擬）已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c，其中a，b，c∈R．
（Ⅰ）若a=1，b=-2，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[-1，1）、（1，3]內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)，且f（-1）≤0恒成立，求c的取值范圍；
（Ⅲ）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a、b、c，函數(shù)f（x）圖象上兩點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）處的切線分別為l₁，l₂．若直線l₁與l₂平行，證明：A、B關(guān)于某定點(diǎn)對(duì)稱，并求出該定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＜0，可得函數(shù)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）區(qū)間[-1，1），（1，3]內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)，可得

f′(-1)≥0 f′(1)＜0 f′(3)≥0

，根據(jù)f（-1）≤0恒成立，可得c≤

1

3

-

1

2

a+b恒成立，求

1

3

-

1

2

a+b的最小值即可；
（Ⅲ）求導(dǎo)函數(shù)，利用直線l₁與l₂平行，可得斜率相等，從而可得x₁+x₂=-a，計(jì)算f（x₁）+f（x₂），即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，f′（x）=x²+x-2＜0，解得-2＜x＜1，故遞減區(qū)間為（-2，1）．
（Ⅱ）解：f′（x）=x²+ax+b，又f（x）區(qū)間[-1，1），（1，3]內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)，
所以

f′(-1)≥0 f′(1)＜0 f′(3)≥0

，即

1-a+b≥0 1+a+b＜0 9+3a+b≥0

，
其中點(diǎn)（a，b）是以A（0，-1），B（-2，-3），C（-4，3）為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部的點(diǎn)，或線段BC（不含點(diǎn)C）、線段AB（不含點(diǎn)A）上的點(diǎn)．
又f(-1)=-

1

3

+

1

2

a-b+c≤0，即c≤

1

3

-

1

2

a+b恒成立，即求

1

3

-

1

2

a+b的最小值，
由圖可知

1

3

-

1

2

a+b的最小值在B（-2，-3）點(diǎn)處取到，故(

1

3

-

1

2

a+b)min=-

5

3

，即c≤-

5

3

．
（Ⅲ）證明：因?yàn)?span id="cbzzykx" class="MathJye">f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c，所以f'（x）=x²+ax+b，
所以l₁，l₂的斜率分別為k1=x12+ax1+b，k2=x22+ax2+b．
又直線l₁與l₂平行，所以k₁=k₂，即x12+ax1+b=x22+ax2+b，
因?yàn)閤₁≠x₂，所以x₁+x₂=-a，從而x₂=-（a+x₁），
所以f(x1)+f(x2)=

1

3

x13+

1

2

ax12+bx1+c-

1

3

(a+x1)3+

1

2

a(a+x1)2-b(a+x1)+c=

a3

6

-ab+2c=2f(-

a

2

)．
又由上 x₁+x₂=-a，所以點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）關(guān)于點(diǎn)(-

a

2

，f(-

a

2

))對(duì)稱．
故當(dāng)直線l₁與l₂平行時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)(-

a

2

，f(-

a

2

))對(duì)稱．
注：對(duì)稱點(diǎn)也可寫成(-

a

2

，

a3

12

-

ab

2

+c)

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查點(diǎn)的對(duì)稱性，屬于中檔題．