Question

（2012•揚州模擬）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與曲線y=x³+2相切，則該雙曲線的離心率等于

10

．

Answer 1

分析：求出雙曲線的漸近線方程，函數(shù)y=x³+2，求導(dǎo)函數(shù)，再設(shè)切點坐標，利用雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與曲線y=x³+2相切，建立方程組，即可求得幾何量之間的關(guān)系，從而可求雙曲線的離心率．

解答：解：雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，函數(shù)y=x³+2，求導(dǎo)函數(shù)可得y=3x²，
設(shè)切點坐標為（m，n），則
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與曲線y=x³+2相切，
∴

n=3m2 n= b a m 3m2= b a

，∴m=1，

b

a

=3，∴b=3a，
∴c²=a²+b²=10a²，∴c=

10

a
∴e=

c

a

=

10

故答案為：

10

點評：本題考查直線與曲線相切，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，正確運用雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與曲線y=x³+2相切是關(guān)鍵．