Question

已知函數(shù)．

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）設(shè)，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

解析:

（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；．

曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，

       即    ．

（2）如果有一條切線過點(diǎn)，則存在，使．

于是，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程

有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．

記    ，則    ．

當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：

		0
		0		0
	極大值		極小值

由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．

綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則

即    ．