Question

有人玩擲骰子移動棋子的游戲，棋盤分為A、B兩方，開始時棋子放在A方，根據(jù)下列①、②、③的規(guī)定移動棋子：①骰子出現(xiàn)1點時，不能移動棋子；②出現(xiàn)2、3、4、5點時，把棋子移向?qū)Ψ剑虎鄢霈F(xiàn)6點時，如果棋子在A方就不動，如果棋子在B方就移至A方．
（1）求將骰子連擲2次，棋子擲第一次后仍在A方而擲第二次后在B方的概率．
（2）將骰子擲了n次后，棋子仍在A方的概率記為P_n，求P_n．

Answer 1

分析：（1）第一次后仍在A方的概率為

2

6

，而擲第二次后在B方的概率為

4

6

，故所求的概率為

2

6

×

4

6

．
（2）設(shè)把骰子擲了n+1次后，棋子仍在A方的概率為P_n+1，有兩種情況：①第n次棋子在A方，其概率為P_n，且
第n+1次骰子出現(xiàn)1點或6點，其概率為

2

6

．②第n次棋子在B方，且第n+1次骰子出現(xiàn)2，3，4，5或6點，其概率為

5

6

．可得Pn+1=

1

3

Pn+

5

6

(1-Pn)，構(gòu)造等比數(shù)列{Pn-

5

9

}，首項為P1-

5

9

=-

2

9

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，求出其通項公式，可得P_n的值．

解答：解：（1）將骰子連擲2次，棋子擲第一次后仍在A方而擲第二次后在B方的概率P=

2

6

×

4

6

=

2

9

．
（2）設(shè)把骰子擲了n+1次后，棋子仍在A方的概率為P_n+1，有兩種情況：
①第n次棋子在A方，其概率為P_n，且第n+1次骰子出現(xiàn)1點或6點，棋子不動，其概率為

2

6

=

1

3

．
②第n次棋子在B方，且第n+1次骰子出現(xiàn)2，3，4，5或6點，其概率為

5

6

．
∴Pn+1=

1

3

Pn+

5

6

(1-Pn)，即Pn+1-

5

9

=-

1

2

(Pn-

5

9

)，P₀=1，
P1=

1

3

P0+

5

6

(1-P0)=

1

3

，

Pn+1- 5 9

Pn- 5 9

=-

1

2

．
∴{Pn-

5

9

}是首項為P1-

5

9

=-

2

9

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列．
∴Pn-

5

9

=-

2

9

(-

1

2

)n-1，即 Pn=

5

9

+

(-1)n

9•2n-2

．

點評：本題主要考查等可能事件的概率，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．