Question

已知橢圓C：的焦距為，離心率為，其右焦點為F，過點B（0，b）作直線交橢圓于另一點A．
（Ⅰ）若，求△ABF外接圓的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓N：相交于兩點G、H，設P為N上一點，且滿足（O為坐標原點），當時，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的簡單性質求得它的標準方程，設A（x，y），由，求得A的坐標，由此求得三角形外接圓的半徑，即可求得外接圓的方程．
（Ⅱ）由題意可知直線GH的斜率存在，把GH的方程代入橢圓，由判別式大于零求得（*）．再由 ，求得，結合（*）得．根據，即（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），結合點P在橢圓上可得16k²=t²（1+2k²），從而求得實數t的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意知：，，又a²-b²=c²，
解得：，∴橢圓C的方程為：．…（2分）
可得：，，設A（x，y），則，，
∵，∴，即．
由，或，
即，或…（4分）
①當A的坐標為時，，
∴△ABF外接圓是以O為圓心，為半徑的圓，即x²+y²=3．…（5分）
②當A的坐標為時，k_AF=1，k_BF=-1，所以△ABF為直角三角形，其外接圓是以線段AB為直徑的圓，
圓心坐標為，半徑為，
∴△ABF外接圓的方程為．
綜上可知：△ABF外接圓方程是x²+y²=3，或．…（7分）
（Ⅱ）由以上可得，橢圓N：即 ，即 ．
由題意可知直線GH的斜率存在，設GH：y=k（x-2），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），P（x，y），
由得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0得：（*）． …（9分）
由于 ，∵，
∴，即，∴，
∴，再結合（*）得：．…（11分）
∵，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）
從而，．
∵點P在橢圓上，∴，整理得：16k²=t²（1+2k²），
即，∴，或，
即實數t的取值范圍為 （-2，-∪（，2）．…（13分）
點評：本題主要考查橢圓的標準方程和簡單性質，求圓的標準方程得方法，直線和圓的位置關系，兩個向量的數量積的運算，屬于中檔題．