Question

已知：直線x+y=1交橢圓mx²+ny²=1于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點）
（1）求證：橢圓過定點；
（2）若橢圓的離心率在[

3

3

，

2

2

]上變化時，求橢圓長軸的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

mx2+ny2=1 x+y=1

?(m+n)x2-2nx+n-1=0，由△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0得：m+n-mn＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：x1+x2=

2n

m+n

，x1x2=

n-1

m+n

，由此能夠推導出橢圓恒過定點．
（2）設橢圓的焦點在x軸上，由

3

3

≤e≤

2

2

，知

1

3

≤e2≤

1

2

，所以

1

2

≤

m

n

≤

2

3

．由n=2-m，得

1

2

≤

1

2 m -1

≤

2

3

，得

5

2

≤

1 m

≤

6

2

，由此能求出橢圓長軸的取值范圍．

解答：解：（1）證明：由

mx2+ny2=1 x+y=1

?(m+n)x2-2nx+n-1=0…（2分）
由△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0得：m+n-mn＞0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：x1+x2=

2n

m+n

，x1x2=

n-1

m+n

∵OA⊥OB，∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
得

2(n-1)

m+n

-

2n

m+n

+1=0，即

1

2

m+

1

2

n=1．
∴橢圓恒過定點(

2

2

，

2

2

)，(

2

2

，-

2

2

)，(-

2

2

，

2

2

)，(-

2

2

，-

2

2

)．
（2）設橢圓的焦點在x軸上，
∵

3

3

≤e≤

2

2

，∴

1

3

≤e2≤

1

2

，∴

1

2

≤

m

n

≤

2

3

．
由（1）得n=2-m，代入上式，得

1

2

≤

1

2 m -1

≤

2

3

，得

5

2

≤

1 m

≤

6

2

，
∴

5

≤2

1 m

≤

6

，
∴橢圓長軸的取值范圍是[

5

，

6

]．

點評：本題考查橢圓過定點的證明和求橢圓長軸的取值范圍．解題時要認真審題，注意橢圓性質的靈活運用．