Question

已知：直線x+y=1交橢圓mx²+ny²=1于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（1）求證：橢圓過定點(diǎn)；
（2）若橢圓的離心率在上變化時，求橢圓長軸的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，由△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0得：m+n-mn＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：，由此能夠推導(dǎo)出橢圓恒過定點(diǎn)．
（2）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，由，知，所以．由n=2-m，得，得，由此能求出橢圓長軸的取值范圍．
解答：解：（1）證明：由…（2分）
由△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0得：m+n-mn＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
得，即．
∴橢圓恒過定點(diǎn)，，，．
（2）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∵，∴，∴．
由（1）得n=2-m，代入上式，得，得，
∴，
∴橢圓長軸的取值范圍是[]．
點(diǎn)評：本題考查橢圓過定點(diǎn)的證明和求橢圓長軸的取值范圍．解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用．