Question

【題目】求1，2，···，n的排列的個數(shù)，使得對正整數(shù)k=1，2，···，n成立。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先考慮n為偶數(shù)的情形.設n =2m( m為正整數(shù)).對k=1，2,···,2m，由

及為正整數(shù)，知

或 ①

注意到，.

故， ②

， ③

其中，的取法是唯一的.

事實上，注意到，兩兩不等，不斷地利用式②，知只能取2m.

進而，只能取2m -1.以此類推得

.

類似地，由式③知的取法也是唯一的.

因此，當n=2m時，符合題意的排列恰有1個.

再考慮n為大于1的奇數(shù)的情形.設n =2m +1(m為正整數(shù)).類似于偶數(shù)的情形知

④

， ⑤

且.

不妨設.

首先，知的取法唯一.

事實上，注意到，兩兩不等，不斷地利用式⑤，知只能取2，只能取3.以此類推知.