Question

如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個(gè)水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9m和15m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD=45°．
（1）求BC的長度；
（2）在線段BC上取一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），從點(diǎn)P看這兩座建筑物的張角分別為∠APB=α，∠DPC=β，問點(diǎn)P在何處時(shí)，α+β最��？

Answer 1

【答案】分析：（1）作AN⊥CD于N，問題轉(zhuǎn)化為求△ACD邊CD上的高．設(shè)AN=x，只要建立起關(guān)于x的方程，則問題可解．
（2）利用（1）設(shè)出BP為t，直接求出α、β的正切值，然后求出∠ADB的正切值，利用基本不等式求解表達(dá)式的最小值，推出BP是值即可．
解答：解：（1）如圖作AN⊥CD于N．
∵AB∥CD，AB=9，CD=15，∴DN=6，EC=9．
設(shè)AN=x，∠DAN=θ，
∵∠CAD=45°，∴∠CAN=45°-θ．
在Rt△ANC和Rt△AND中，
∵tanθ=，tan（45°-θ）=
∴=tan（45°-θ）=
∴=，化簡整理得x²-15x-54=0，
解得x₁=18，x₂=-3（舍去）．
BC的長度是18 m．
（2）設(shè)BP=t，所以PC=18-t，
tanα=，tanβ=，
所以tan（α+β）=
=
=-
=-
≥
當(dāng)且僅當(dāng)t+27=，即t=時(shí)，α+β最�。�
P在距離B時(shí)，α+β最小．
點(diǎn)評：考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．解這類題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)出恰當(dāng)?shù)慕牵�考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查計(jì)算能力．