Question

如圖，兩座建筑物AB，CD的高度分別為9m和15m，從建筑物AB的頂部看建筑物CD的張角∠CAD=45°．
（1）求建筑物AB和CD的底部之間的距離BD；
（2）求∠ADB的正切值．

Answer 1

分析：（1）作AE⊥CD于E，問題轉(zhuǎn)化為求△ACD邊CD上的高．設(shè)AE=x，只要建立起關(guān)于x的方程，則問題可解．
（2）利用（1）直接求出∠ADB的正切值．

解答：解：（1）如圖作AE⊥CD于E．
∵AB∥CD，AB=9，CD=15，∴DE=9，EC=6．
設(shè)AE=x，∠CAE=α，
∵∠CAD=45°，∴∠DAE=45°-α．
在Rt△AEC和Rt△AED中，
∵tanα=

6

x

，tan（45°-α）=

9

x

∴

9

x

=tan（45°-α）=

1-tanα

1+tanα

∴

9

x

=

1- 6 x

1+ 6 x

，化簡(jiǎn)整理得x²-15x-54=0，
解得x₁=18，x₂=-3（舍去）．
答：兩建筑物底部間距離BD是18 m．
（2）由（1）可知BD=18，AB=9，所以tan∠ADB=

AB

BD

=

9

18

=

1

2

．
∠ADB的正切值為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．解這類題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)出恰當(dāng)?shù)慕牵�考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查計(jì)算能力．