Question

過曲線C：y=x³上的點(diǎn)P₁（x₁，y₁）作曲線C的切線l₁與曲線C交于點(diǎn)P₂（x₂，y₂），過點(diǎn)P₂作曲線C的切線l₂與曲線C交于點(diǎn)，依此類推，可得到點(diǎn)列：P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），…，已知x₁=1．
（1）求點(diǎn)P₂、P₃的坐標(biāo)；
（2）求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（3）記點(diǎn)P_n到直線l_n+1（即直線P_n+1P_n+2）的距離為d_n，求證：

1

d1

+

1

d 2

+…+

1

dn

＞

4

9

．

Answer 1

分析：（1）由題意因為x₁=1，且已知過曲線C：y=x³上的點(diǎn)P₁（x₁，y₁），把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得P₁（1，1），再由題意可以得到P₂，P₃；
（2）由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何含義及題中P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），…，的產(chǎn)生可以得到數(shù)列{x_n}的通項公式；
（3）有（2）知道點(diǎn)P_n的坐標(biāo)，利用電到直線的距離公式得到點(diǎn)P_n到直線l_n+1（即直線P_n+1P_n+2）的距離為d_n，在有得到式子放縮一下即可．

解答：解：（1）因為x₁=1，且已知過曲線C：y=x³上的點(diǎn)P₁（x₁，y₁），所以得P₁（1，1），再由題意可以得P₂（-2，-8），P₃（4，64）．
（2）曲線C上點(diǎn)P_n（x_n，y_n）處的切線l_n的斜率為kn=y′x=xn=3

x

2 n

，
故得到切線的方程為y-y_n=3x_n²•（x-x_n），
聯(lián)立方程

y=x3 y-yn=3 x 2 n •(x-xn) yn= x 3 n

消去y，y_n得：x³-3x_n²•x+2x_n³=0
化簡得：（x-x_n）²•（x+2x_n）=0所以：x=x_n或x=-2x_n，
由x=x_n得到點(diǎn)P_n的坐標(biāo)（x_n，y_n），由x=-2x_n就得到點(diǎn)P_n+1的坐標(biāo)（-2x_n，（-2x_n）³）所以：x_n+1=-2x_n故數(shù)列{x_n}為首項為1，公比為-2的等比數(shù)列所以：x_n=（-2）^n-1
（3）由（2）知：P_n+1（（-2）ⁿ，（-8）ⁿ），P_n+2（（-2）ⁿ⁺¹，（-8）ⁿ⁺¹），
所以直線l_n的方程為：y-(-8)n=

(-8)n-(-8)n+1

(-2)n-(-2)n+1

(x-(-2)n)
化簡得：3•4ⁿx-y-2•（-8）ⁿ=0，dn=

|3•4n•(-2)n-1-(-8)n-1-2•(-8)n|

(3•4n)2+(-1)2

=

27•8n-1

9•42n+1

＜

27•8n-1

3•22n

=9•2n-3
所以

1

dn

＞

1

9

•(

1

2

)n-3
∴

1

d1

+

1

d2

++

1

dn

＞

8

9

(1-

1

2n

)≥

8

9

(1-

1

2

)=

4

9

點(diǎn)評：此題考查了學(xué)生對于題意的準(zhǔn)確理解，還考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上一點(diǎn)的切線的斜率及利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，還考查了一元三次方程的求解及證明不等式時的恰當(dāng)放縮．