Question

過(guò)曲線C：y=x³上的點(diǎn)P₁（x₁，y₁）作曲線C的切線l₁與曲線C交于點(diǎn)P₂（x₂，y₂），過(guò)點(diǎn)P₂作曲線C的切線l₂與曲線C交于點(diǎn)，依此類推，可得到點(diǎn)列：P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），…，已知x₁=1．
（1）求點(diǎn)P₂、P₃的坐標(biāo)；
（2）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（3）記點(diǎn)P_n到直線l_n+1（即直線P_n+1P_n+2）的距離為d_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意因?yàn)閤₁=1，且已知過(guò)曲線C：y=x³上的點(diǎn)P₁（x₁，y₁），把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得P₁（1，1），再有題意可以得到P₂，P₃；
（2）由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何含義及題中P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），…，的產(chǎn)生可以得到數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（3）有（2）知道點(diǎn)P_n的坐標(biāo)，利用電到直線的距離公式得到點(diǎn)P_n到直線l_n+1（即直線P_n+1P_n+2）的距離為d_n，在有得到式子放縮一下即可．
解答：解：（1）因?yàn)閤₁=1，且已知過(guò)曲線C：y=x³上的點(diǎn)P₁（x₁，y₁），所以得P₁（1，1），再有題意可以得P₂（-2，-8），P₃（4，64）．
（2）曲線C上點(diǎn)P_n（x_n，y_n）處的切線l_n的斜率為，
故得到切線的方程為y-y_n=3x_n²•（x-x_n），
聯(lián)立方程消去y，y_n得：x³-3x_n²•x+2x_n³=0
化簡(jiǎn)得：（x-x_n）²•（x+2x_n）=0所以：x=x_n或x=-2x_n，
由x=x_n得到點(diǎn)P_n的坐標(biāo)（x_n，y_n），由x=-2x_n就得到點(diǎn)P_n+1的坐標(biāo)（-2x_n，（-2x_n）³）所以：x_n+1=-2x_n故數(shù)列{x_n}為首項(xiàng)為1，公比為-2的等比數(shù)列所以：x_n=（-2）^n-1
（3）由（2）知：P_n+1（（-2）ⁿ，（-8）ⁿ），P_n+2（（-2）ⁿ⁺¹，（-8）ⁿ⁺¹），
所以直線l_n的方程為：
化簡(jiǎn)得：3•4ⁿx-y-2•（-8）ⁿ=0，
所以
∴≥
點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生對(duì)于題意的準(zhǔn)確理解，還考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上一點(diǎn)的切線的斜率及利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，還考查了一元三次方程的求解及證明不等式時(shí)的恰當(dāng)放縮．