Question

設(shè)拋物線的方程為y²=8x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B是拋物線上的點(diǎn)．如果OA⊥OB，求證：直線AB必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：如果OA⊥OB，則OA，OB斜率都存在且互為負(fù)倒數(shù)，可設(shè)出其中一個(gè)斜率為k，則另一個(gè)斜率為-

1

k

，這樣，設(shè)出兩直線方程，分別于拋物線方程聯(lián)立，解出A，B坐標(biāo)，再求直線AB方程，看是否經(jīng)過定點(diǎn)．

解答：解：當(dāng)斜率k不存在時(shí)，由題設(shè)條件知A（x，x），B（x，-x），
∴x²=8x，∴A（8，8），B（8，-8），
AB方程為x=8，過定點(diǎn)N（8，0）．…（2分）
當(dāng)斜率k存在時(shí)，設(shè)AB方程為：y=kx+b，
由

y=kx+b y2=8x

，消去x得：ky²-8y+8b=0，…（7分）
∴k≠0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即

y12y22

64

+y₁y₂=0，
得y₁y₂=-64，
∴

8b

k

=-64，即b=-8k．…（10分）
∴AB方程為：y=kx-8k=k（x-8）．…（12分）
∴AB方程恒過定點(diǎn)N（8，0）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，證明直線AB必過定點(diǎn)時(shí)，要熟練掌握其中設(shè)而不求的解題思想．