Question

【題目】在中，兩直角邊AB，AC的長分別為m，n（其中），以BC的中點O為圓心，作半徑為r（）的圓O．

（1）若圓O與的三邊共有4個交點，求r的取值范圍；

（2）設(shè)圓O與邊BC交于P，Q兩點；當r變化時，甲乙兩位同學(xué)均證明出為定值甲同學(xué)的方法為：連接AP，AQ，AO，利用兩個小三角形中的余弦定理來推導(dǎo)；乙同學(xué)的方法為；以O為原點建立合適的直角坐標系，利用坐標法來計算.請在甲乙兩位同學(xué)的方法中選擇一種來證明該結(jié)論，定值用含m、n的式子表示.（若用兩種方法，按第一種方法給分）

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）計算出圓與邊、邊相切時的半徑，從而得到滿足要求的r的取值范圍；

（2）甲同學(xué)方法：連接，，，利用余弦定理，表示出、，然后通過計算，得到，乙同學(xué)方法：以點為原點，建立坐標系，設(shè)點，將用坐標表示，通過計算，得到.

（1）因為，故當圓與邊相切時，

此時圓與的三邊共有3個交點；

當圓與邊相切時，，

此時圓與的三邊共有5個交點，

故當時，圓與的三邊共有4個交點.

（2）甲同學(xué)方法：連接，，，

在中，由余弦定理可得：①

在中，由余弦定理可得：②

由，得，

又，

故①②得：，

故

乙同學(xué)方法：以點為原點，建立如圖所示直角坐標系，

易知

設(shè)點，則

．