Question

已知拋物線x²=2py（p為常數(shù)，p≠0）上不同兩點A、B的橫坐標恰好是關于x的方程x²+6x+4q=0（q為常數(shù)）的兩個根，則直線AB的方程為

 

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Answer 1

分析：本題考查的知識點是直線的一般方程，由已知A、B的橫坐標是方程x²+6x+4q=0的兩個根，由一元二次方程根與系數(shù)的關系（韋達定理），我們易得x₁+x₂=-6，x₁•x₂=4q，再由A、B也在拋物線上，易得y₁，y₂的值，代入兩點式方程，整理即可得到答案．

解答：解：設A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
由A、B的橫坐標是方程x²+6x+4q=0的兩個根
則x₁+x₂=-6，x₁•x₂=4q
又由A、B也在拋物線上，
則y₁=

1

2p

x

2 1

，y₂=

1

2p

x

2 2

代入兩點式方程得：

x-x1

x2-x1

=

y-y1

y2-y1

即x-x₁=

2py- x 2 1

-6

即6x+2py=x₁²+6x₁=x₁²+x₁x₂+6x₁-x₁x₂=x₁（x₁+x₂）+6x₁-4q=-4q
即：3x+py+2q=0
故答案為：3x+py+2q=0

點評：在求直線方程時，應先選擇適當?shù)闹本�方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經(jīng)過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況．