Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)為3的線(xiàn)段的兩端點(diǎn)分別在軸、軸上滑動(dòng)，點(diǎn)為線(xiàn)段上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足.記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).

（1）求曲線(xiàn)的方程；

（2）若點(diǎn)為曲線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記，判斷是否存在常數(shù)使得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值？若存在，求出常數(shù)的值和這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；常數(shù)，定值

【解析】

（1）設(shè)出的坐標(biāo)，利用以及，求得曲線(xiàn)的方程.

（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)的方程，求得到直線(xiàn)的距離.聯(lián)立直線(xiàn)的方程和曲線(xiàn)的方程，寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合以及為定值，求得的值.當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證.由此得到存在常數(shù)，且定值.

（1）解析：（1）設(shè)，，

由題可得

，解得

又，即，

消去得：

（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為

設(shè)，

由可得：

由點(diǎn)到的距離為定值可得（為常數(shù)）即

得：

即

，

又

為定值時(shí)，，此時(shí)，且符合

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為

由題可得，時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合條件

綜上可知，存在常數(shù)，且定值