Question

對于定義在實數(shù)集上的兩個函數(shù)，若存在一次函數(shù)使得，對任意的，都有，則把函數(shù)的圖像叫函數(shù)的“分界線”�，F(xiàn)已知（，為自然對數(shù)的底數(shù)），
（1）求的遞增區(qū)間；
（2）當時，函數(shù)是否存在過點的“分界線”？若存在，求出函數(shù)的解析式，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）若遞增區(qū)間為，若遞增區(qū)間為，若，則遞增區(qū)間為若遞增區(qū)間為（2）存在函數(shù)的圖像是函數(shù)過點的“分界線”。

試題分析：（1），
由得
①若，則，此時的遞增區(qū)間為；
②若，則或，此時的遞增區(qū)間為；
③若，則的遞增區(qū)間為；
④若，則或，此時的遞增區(qū)間為。
（2）當時，，假設存在實數(shù)，使不等式對恒成立，
由得到對恒成立，
則，得，
下面證明對恒成立。
設，，，
且時，，，
時，，
所以，即對恒成立。
綜上，存在函數(shù)的圖像是函數(shù)過點的“分界線”。
點評：第一小題求單調區(qū)間針對于不同的值對應不同的極值點，因此需對值分情況討論以求單調性；第二問在正確理解給定信息的基礎上將問題轉化為不等式恒成立問題，進而轉化為函數(shù)最值，可利用導數(shù)這一工具求解