Question

【題目】已知圓，橢圓（）的短軸長等于圓半徑的倍，的離心率為．

（1）求的方程；

（2）若直線與交于兩點(diǎn)，且與圓相切，證明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

(1)由題分別計(jì)算橢圓的基本量即可.

(2)分直線斜率不存在與存在兩種情況討論,當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)其方程為利用直線與圓相切求得,再聯(lián)立橢圓方程設(shè)交點(diǎn)再得出韋達(dá)定理證明0即可.

解法一：（1）依題意,圓半徑等于,

因?yàn)闄E圓的短軸長等于圓半徑的倍,

所以,解得

因?yàn)?/span>的離心率為,所以, ①

又因?yàn)?/span>,所以, ②

聯(lián)立①② ,解得,

所以的方程為.

（2）證明：①當(dāng)直線斜率不存在時, 直線的方程為,或．

當(dāng)時,,則,故．

同理可證,當(dāng)時,．

②當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)其方程為

因?yàn)橹本�與圓相切,所以,即,

由得,,

所以,且

所以

,

所以

綜上,

解法二：（1）同解法一

（2）①當(dāng)直線方程為時, ,則

,故

同理可證,當(dāng)直線方程為時,

②當(dāng)直線不與軸平行時,設(shè)其方程為

因?yàn)橹本�與圓相切,所以,即

由得,

所以,且

,

所以,．

綜上,