Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，正方形邊長為2，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：直線與平面所成角的正弦值為，求的長度；

（3）若，線段上是否存在一點，使平面，若存在求的長度，若不存在則說明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析，2或4；（3）存在，

【解析】

（1）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出，平面法向量，利用，即可證出.

（2）求出平面法向量，，由，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

（3）假設(shè)存在，設(shè)，由（1）平面法向量，，由向量共線可得，解方程即可求解.

（1）由平面，平面，所以，

因為為正方形，所以，

又，

所以平面.

如圖以為原點建立空間直角坐標(biāo)系

，，，，

，

設(shè)平面法向量為

，

令，

，平面，平面

（2）設(shè)平面法向量為，

，，

，令，，

，設(shè)直線與平面所成角為

解得或4，所以長為或4

（3）存在，，，，，

，，，

解得，.