Question

【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如下圖就是在平面直角坐標(biāo)系的“心形曲線”，又名RC心形線.如果以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，其RC心形線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求RC心形線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知與直線（為參數(shù)），若直線與RC心形線交于兩點(diǎn)，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用兩邊平方的方法，結(jié)合極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化的公式，求得心形線的直角坐標(biāo)方程.

（2）將直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，然后代入心形線的直角坐標(biāo)方程，利用直線參數(shù)的幾何意義，求得的值.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

即，

故；

（2）因?yàn)?/span>在直線（為參數(shù)）上，

設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

若直線與RC心形線交于兩點(diǎn)，，

則只能交于軸右側(cè)部分，

將直線的參數(shù)方程，代入方程，化簡(jiǎn)得，

所以.