Question

設(shè)向量

a

=(sin(x-

π

3

)，cos(x-

π

3

))，

b

=(cos(φ+

5π

6

)，sin(φ+

5π

6

))，若函數(shù)f（x）=

a

•

b

（0＜φ＜

π

2

）在x=-

π

3

處取得最大值．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知A為△ABC的內(nèi)角，若f(A)=

1

4

，求f(

A+?

2

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)量積將函數(shù)f（x）進行化簡，利用在x=-

π

3

處取得最大值，確定φ的值，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間．
（2）利用余弦的倍角公式求f(

A+?

2

)即可．

解答：解：∵向量

a

=(sin(x-

π

3

)，cos(x-

π

3

))，

b

=(cos(φ+

5π

6

)，sin(φ+

5π

6

))
∴f（x）=

a

•

b

=sin（x-

π

3

）cos（φ+

5π

6

）+cos(x-

π

3

)sin（φ+

5π

6

）
=sin（x-

π

3

+φ+

5π

6

）=sin（x+φ+

π

2

）=cos（x+φ）．
∵f（x）在x=-

1

3

π取得最大值
∴-

1

3

π+φ=2kπ
∴φ=

1

3

π+2kπ
∴f（x）=cos（x+φ）=cos（x+

1

3

π+2kπ）=cos（x+

1

3

π）．
由2kπ-π≤x+

π

3

≤2kπ，解得2kπ-

4π

3

≤x≤2kπ-

π

3

，
當(dāng)k=0時，增區(qū)間為[-

4π

3

，-

π

3

]，
當(dāng)k=1時，增區(qū)間為[

2π

3

，

5π

3

]，
∵x∈[0，π]，
∴函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[

2π

3

，

5π

3

]．
（2）若f(A)=

1

4

，則f（A）=cos（A+

π

3

）=

1

4

，
∴f(

A+?

2

)=cos?(

A+ π 3

2

+kπ)=±cos?(

A+ π 3

2

)，
∵f（A）=cos（A+

π

3

）=

1

4

＜

1

2

，
∴0＜A+

π

3

＜

π

3

，0＜

A+ π 3

2

＜

π

6

，即f(

A+?

2

)＞0，
∴f(

A+?

2

)=cos?(

A+ π 3

2

)＞0．
則由cos?(A+

π

3

)=2cos?2(

A+ π 3

2

)-1=

1

4

，解得cos?2(

A+ π 3

2

)=

5

8

．
∴cos?(

A+ π 3

2

)=

5 8

=

10

4

，
即f(

A+?

2

)=

10

4

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求值，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運算能力．