Question

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．

（1）求b．

（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；

（2）由（1）可得，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可.

（1）因?yàn)?/span>，

由題意，，即

則；

（2）由（1）可得，

，

令，得或；令，得，

所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，

且，

若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，則或，

即或.

當(dāng)時(shí)，，

又，

由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，

即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，

此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；

當(dāng)時(shí)，，

又，

由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，

即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，

此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；

綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

【點(diǎn)晴】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，反證法，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.