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        1. 設(shè)拋物線C1:x2=4y的焦點(diǎn)為F,曲線C2與C1關(guān)于原點(diǎn)對稱.
          (Ⅰ) 求曲線C2的方程;
          (Ⅱ) 曲線C2上是否存在一點(diǎn)P(異于原點(diǎn)),過點(diǎn)P作C1的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)A,B,滿足|AB|是|FA|與|FB|的等差中項(xiàng)?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
          分析:(Ⅰ)根據(jù)曲線C2與C1關(guān)于原點(diǎn)對稱,可求曲線C2的方程;
          (Ⅱ)求出切線PA、PB的方程,可得直線AB的方程,代入拋物線方程,求出|AB|,利用拋物線定義,結(jié)合|FA|+|FB|=2|AB|,即可得出結(jié)論.
          解答:(Ⅰ)解;因?yàn)閽佄锞C1:x2=4y的焦點(diǎn)為F,曲線C2與C1關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以C2方程為x2=-4y.
          (Ⅱ)解:設(shè)P(x0,-
          x02
          4
          ),A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2).
          y=
          1
          4
          x2
          的導(dǎo)數(shù)為y′=
          1
          2
          x
          ,則切線PA的方程y-y1=
          1
          2
          x1(x-x1)
          ,
          y1=
          1
          4
          x12
          ,得y=
          1
          2
          x1x-y1

          因點(diǎn)P在切線PA上,故-
          1
          4
          x02=
          1
          2
          x1x0-y1

          同理-
          1
          4
          x02=
          1
          2
          x2x0-y2

          所以直線-
          1
          4
          x02=
          1
          2
          x0x-y
          經(jīng)過A,B兩點(diǎn),
          即直線AB方程為-
          1
          4
          x02=
          1
          2
          x0x-y
          ,即y=
          1
          2
          x0x+
          1
          4
          x02
          ,
          代入x2=4y得x2-2x0x-x02=0,則x1+x2=2x0,x1x2=-x02
          所以|AB|=
          1+
          1
          4
          x02
          (x1+x2)2-4x1x2
          =
          (8+2x02)•x02
          ,
          由拋物線定義得|FA|=y1+1,|FB|=y2+1.
          所以|FA|+|FB|=(y1+y2)+2=
          1
          2
          x0(x1+x2)+
          1
          2
          x02+2
          ,
          由題設(shè)知,|FA|+|FB|=2|AB|,即(
          3
          2
          x02+2)2=4x02(8+2x02)
          ,
          解得x02=
          32
          3
          -52
          23
          ,從而y0=
          13-8
          3
          23

          綜上,存在點(diǎn)P滿足題意,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
          2
          23(8
          3
          -13)
          23
          ,
          13-8
          3
          23
          )或(-
          2
          23(8
          3
          -13)
          23
          13-8
          3
          23
          ).
          點(diǎn)評:本題主要考查拋物線幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系、等差中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識,同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
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          精英家教網(wǎng)如圖,設(shè)P是拋物線C1:x2=y上的動點(diǎn).過點(diǎn)P做圓C2:x2+(y+3)2=1的兩條切線,交直線l:y=-3于A,B兩點(diǎn).
          (Ⅰ)求C2的圓心M到拋物線 C1準(zhǔn)線的距離.
          (Ⅱ)是否存在點(diǎn)P,使線段AB被拋物線C1在點(diǎn)P處的切線平分?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知點(diǎn)D(0,-2),過點(diǎn)D作拋物線C1:x2=2py(p>0)的切線l,切點(diǎn)A在第二象限,如圖
          (Ⅰ)求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo);
          (Ⅱ)若離心率為
          3
          2
          的橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          恰好經(jīng)過切點(diǎn)A,設(shè)切線l交橢圓的另一點(diǎn)為B,記切線l,OA,OB的斜率分別為k,k1,k2,若k1+2k2=4k,求橢圓方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•臺州一模)已知拋物線C1:x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為p的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3.
          (Ⅰ)求拋物線C1的方程;
          (Ⅱ)過點(diǎn)P(0,-2)的直線交拋物線C1于A,B兩點(diǎn),設(shè)拋物線C1在點(diǎn)A,B處的切線交于點(diǎn)M,
          (。┣簏c(diǎn)M的軌跡C2的方程;
          (ⅱ)若點(diǎn)Q為(。┲星C2上的動點(diǎn),當(dāng)直線AQ,BQ,PQ的斜率kAQ,kBQ,kPQ均存在時(shí),試判斷
          kPQ
          kAQ
          +
          kPQ
          kBQ
          是否為常數(shù)?若是,求出這個(gè)常數(shù);若不是,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省2012屆高三調(diào)研考試數(shù)學(xué)文科試題 題型:044

          設(shè)拋物線C1x2=4y的焦點(diǎn)為F,曲線C2與C1關(guān)于原點(diǎn)對稱.

          (Ⅰ)求曲線C2的方程;

          (Ⅱ)曲線C2上是否存在一點(diǎn)P(異于原點(diǎn)),過點(diǎn)P作C1的兩條切線PAPB,切點(diǎn)A,B,滿足|AB|是|FA|與|FB|的等差中項(xiàng)?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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