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        1. 設(shè)拋物線C1x2=4y的焦點(diǎn)為F,曲線C2與C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

          (Ⅰ)求曲線C2的方程;

          (Ⅱ)曲線C2上是否存在一點(diǎn)P(異于原點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)P作C1的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)A,B,滿足|AB|是|FA|與|FB|的等差中項(xiàng)?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          答案:
          解析:

            (Ⅰ)解;因?yàn)榍關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又的方程,

            所以方程為. 5分

            (Ⅱ)解:設(shè),,

            的導(dǎo)數(shù)為,則切線的方程,

            又,得,

            因點(diǎn)在切線上,故

            同理,

            所以直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),

            即直線方程為,即,

            代入,則,

            所以,

            由拋物線定義得

            所以,

            由題設(shè)知,,即,

            解得,從而

            綜上,存在點(diǎn)滿足題意,點(diǎn)的坐標(biāo)為

            . 15分


          提示:

          本題主要考查拋物線幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系、等差中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力.滿分15分.


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          已知點(diǎn)D(0,-2),過(guò)點(diǎn)D作拋物線C1:x2=2py(p>0)的切線l,切點(diǎn)A在第二象限,如下圖.

          (Ⅰ)求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo);

          (Ⅱ)若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過(guò)切點(diǎn)A,設(shè)切線l交橢圓的另一點(diǎn)為B,記切線l,OA,OB的斜率分別為k,k1,k2,若k1+2k2=4k,求橢圓方程.

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          如圖,設(shè)P是拋物線C1:x2=y(tǒng)上的動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P做圓C2的兩條切線,交直線l:y=-3于A,B兩點(diǎn).

          (Ⅰ)求C2的圓心M到拋物線C1準(zhǔn)線的距離.

          (Ⅱ)是否存在點(diǎn)P,使線段AB被拋物線C1在點(diǎn)P處得切線平分,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          如圖,已知過(guò)點(diǎn)D(0,-2)作拋物線C1:x2=2py(p>0)的切線l,切點(diǎn)A在第二象限.

          (Ⅰ)求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo);

          (Ⅱ)若離心率為的橢圓恰好經(jīng)過(guò)切點(diǎn)A,設(shè)切線l交橢圓的另一點(diǎn)為B,記切線l,OA,OB的斜率分別為k,k1,k2,若k1+2k2=4k,求橢圓方程.

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          如圖,已知拋物線C1:x2=2py(p>0)與圓C2:x2+y2交于M、N兩點(diǎn),且∠MON=120°.

          (1)求拋物線C1的方程;

          (2)設(shè)直線l與圓C2相切.

          ①若直線l與拋物線C1也相切,求直線l的方程.

          ②若直線l與拋物線C1交于不同的A、B兩點(diǎn),求·的取值范圍.

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