Question

設(shè)拋物線C₁：x²＝4y的焦點(diǎn)為F，曲線C₂與C₁關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

(Ⅰ)求曲線C₂的方程；

(Ⅱ)曲線C₂上是否存在一點(diǎn)P(異于原點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P作C₁的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)A，B，滿足|AB|是|FA|與|FB|的等差中項(xiàng)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解；因?yàn)榍�線與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又的方程， 　　所以方程為．　5分 　　(Ⅱ)解：設(shè)，，，． 　　的導(dǎo)數(shù)為，則切線的方程， 　　又，得， 　　因點(diǎn)在切線上，故． 　　同理，． 　　所以直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)， 　　即直線方程為，即， 　　代入得，則，， 　　所以， 　　由拋物線定義得，． 　　所以， 　　由題設(shè)知，，即， 　　解得，從而． 　　綜上，存在點(diǎn)滿足題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為 　　或．　15分

提示：

本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系、等差中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力．滿分15分．