Question

如圖，已知拋物線C₁：x²＝2py(p>0)與圓C₂：x²＋y²＝交于M、N兩點，且∠MON＝120°.

(1)求拋物線C₁的方程；

(2)設(shè)直線l與圓C₂相切.

①若直線l與拋物線C₁也相切，求直線l的方程.

②若直線l與拋物線C₁交于不同的A、B兩點，求·的取值范圍.

Answer 1

(1)因為∠MON＝120°，所以O(shè)M與x軸正半軸成30°角，所以點M的坐標為(，)，代入拋物線方程得()²＝2p×，求得p＝1，

所以拋物線C₁的方程為x²＝2y.

(2)由題意可設(shè)l：y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，

因為l與圓C₂相切，所以＝，

即9b²＝16(k²＋1)　　(Ⅰ)

①設(shè)直線l與拋物線C₁：x²＝2y即y＝x²相切于點T(t，t²)，因為函數(shù)y＝x²的導數(shù)為y′＝x，所以　　　(Ⅱ)

由(Ⅰ)、(Ⅱ)解得或

所以直線l的方程為y＝－2x－4或y＝2x－4.

②由得x²－2kx－2b＝0，

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

則x₁＋x₂＝2k，x₁x₂＝－2b，且由Δ＝4k²＋8b>0得k²＋2b>0　　(Ⅲ)

由(Ⅰ)、(Ⅲ)可得，解得b≥或b<－4，

所以·＝x₁x₂＋y₁y₂＝(x₁x₂)²＋x₁x₂＝b²－2b∈[－，＋∞)，即·的取值范圍是[－，＋∞).