Question

設(shè)，常數(shù)，定義運(yùn)算“”：，定義運(yùn)算“”： ；對(duì)于兩點(diǎn)、，定義．

(Ⅰ)若≥0，求動(dòng)點(diǎn)P( ,) 的軌跡；

(Ⅱ)已知直線與(Ⅰ)中軌跡交于、兩點(diǎn)，若，試求的值；

(Ⅲ)  在(Ⅱ)中條件下，若直線不過原點(diǎn)且與軸交于點(diǎn)S，與軸交于點(diǎn)T，并且與(Ⅰ)中軌跡C交于不同兩點(diǎn)P、Q , 試求的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ) 設(shè) ,

則 ,

又由≥0 ,

可得P( ,) 的軌跡方程為，軌跡C為頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線在軸上及第一象限的內(nèi)的部分；      

(Ⅱ) 由已知可得  ,  整理得,                                           

由 ,得．

∵，∴

∴

 ,

解得或(舍) ；                

 (Ⅲ) ∵ ，

∴

設(shè)直線 , 依題意, ，則分別過P、Q作PP­₁⊥ y軸，QQ₁⊥ y軸，垂足分別為P₁、Q₁，則

．

由  消去y得． 

∴≥ ．

∵、取不相等的正數(shù)，∴取等的條件不成立，

 ∴的取值范圍是（2，+）．