Question

設(shè)、是橢圓上的兩點，點是線段的中點，線段的垂直平分線與橢圓相交于、兩點．
（Ⅰ）求直線的方程；
（Ⅱ）求以線段的中點為圓心且與直線相切的圓的方程．

Answer 1

（Ⅰ）法1：依題意顯然的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，
整理得 ． ①   ---------------2分
設(shè)是方程①的兩個不同的根，
∴，  ②                --------4分
且，由是線段的中點，得
，∴．
解得，這個值滿足②式，
于是，直線的方程為，即    --------6分
法2：設(shè)，，則有
     --------2分
依題意，，∴．           ---------------------4分
∵是的中點， ∴，，從而．
直線的方程為，即．   ----------------6分
（Ⅱ）∵垂直平分，∴直線的方程為，即，
代入橢圓方程，整理得． ③            ---------------8分
又設(shè)，的中點為，則是方程③的兩根，
∴，．-----10分
到直線的距離，故所求的以線段的中點為圓心且與直線相切的圓的方程為：

略