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        1. (2013•浙江模擬)已知函數(shù)f(x)=ln(
          1
          2
          +
          1
          2
          ax)+x2-ax (a為常數(shù),a>0)
          (1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程;
          (2)當(dāng)y=f(x)在x=
          1
          2
          處取得極值時(shí),若關(guān)于x的方程f(x)-b=0在[0,2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
          (3)若對(duì)任意的a∈(1,2),總存在x0∈[
          1
          2
          ,1],使不等式f(x0)>m(a2+2a-3)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
          分析:(1)a=1時(shí)求出f′(x),則切線斜率k=f′(1),求出切點(diǎn),利用點(diǎn)斜式即可求得切線方程;
          (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x),令f′(
          1
          2
          )=0可得a,利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)f(x)在[0,2]上的最小值、最大值,結(jié)合圖象可知只需滿足直線y=b與y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)即可;
          (3)先利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)在[
          1
          2
          ,1]上的最大值f(1)=ln(
          1
          2
          +
          1
          2
          a
          )+1-a,則問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意的a∈(1,2),不等式ln(
          1
          2
          +
          1
          2
          a
          )+1-a-m(a2+2a-3)成立,然后利用導(dǎo)數(shù)研究不等式左邊的最小值即可;
          解答:解:(1)a=1時(shí),f(x)=ln(
          1
          2
          +
          1
          2
          x)+x2-x
          ,
          f(x)=
          1
          1+x
          +2x-1
          ,于是f(1)=
          3
          2
          ,
          又f(1)=0,即切點(diǎn)為(1,0),
          ∴切線方程為y=
          3
          2
          (x-1)

          (2)f(x)=
          a
          1+ax
          +2x-a
          ,f(
          1
          2
          )=
          a
          1+
          1
          2
          a
          +1-a=0
          ,即a2-a-2=0,
          ∵a>0,∴a=2,
          此時(shí),f(x)=
          2x(2x-1)
          1+2x
          ,∴x∈[0,
          1
          2
          ]
          上遞減,[
          1
          2
          ,2]
          上遞增,
          f(0)=ln
          1
          2
          ,f(
          1
          2
          )=-
          3
          4
          ,f(2)=ln
          5
          2
          ,
          -
          3
          4
          <b≤ln
          1
          2
          ;
          (3)f′(x)=
          a
          1+ax
          +2x-a=
          2ax2+(2-a2)x
          1+ax
          =
          x[2ax-(a2-2)]
          1+ax

          ∵1<a<2,∴
          a2-2
          2a
          -
          1
          2
          =
          (a-2)(a+1)
          2a
          <0,即
          a2-2
          2a
          1
          2
          ,
          ∴f(x)在[
          1
          2
          ,2]上遞增,∴f(x)max=f(1)=ln(
          1
          2
          +
          1
          2
          a
          )+1-a,
          問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意的a∈(1,2),不等式ln(
          1
          2
          +
          1
          2
          a
          )+1-a>m(a2+2a-3)成立,
          設(shè)h(a)=ln(
          1
          2
          +
          1
          2
          a)+1-a-m(a2+2a-3)(1<a<2),
          則h′(a)=
          1
          1+a
          -1-2ma-2m=
          -2ma2-(4m+1)a-2m
          a+1
          ,
          又h(1)=0,∴h(a)在1右側(cè)需先增,∴h′(1)≥0,m≤-
          1
          8
          ,
          設(shè)g(a)=-2ma2-(4m+1)a-2m,對(duì)稱軸a=-1-
          1
          4m
          ≤1,
          又-2m>0,g(1)=-8m-1≥0,
          所以在(1,2)上,g(a)>0,即h′(a)>0,
          ∴h(a)在(1,2)上單調(diào)遞增,h(a)>h(1)=0,即ln(
          1
          2
          +
          1
          2
          a
          )+1-a>m(a2+2a-3),
          于是,對(duì)任意的a∈(1,2),總存在x0∈[
          1
          2
          ,1],使不等式f(x0)>m(a2+2a-3)成立,
          m≤-
          1
          8
          點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值,考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,考查函數(shù)與方程思想、分類討論思想,綜合性強(qiáng),難度大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•浙江模擬)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>),|φ|<
          π
          2
          )的部分圖象如圖示,則將y=f(x)的圖象向右平移
          π
          6
          個(gè)單位后,得到的圖象解析式為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•浙江模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,已知C=
          π3

          (Ⅰ)若a=2,b=3,求△ABC的外接圓的面積;
          (Ⅱ)若c=2,sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•浙江模擬)一個(gè)口袋中裝有2個(gè)白球和3個(gè)紅球,每次從袋中摸出兩個(gè)球,若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng),否則為不中獎(jiǎng),則中獎(jiǎng)的概率為
          2
          5
          2
          5

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•浙江模擬)如圖,在四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥DC.若|
          AB
          |=a,|
          AD
          |=b,則
          AC
          BD
          =(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•浙江模擬)已知sin(
          π
          4
          -x)=
          3
          4
          ,且x∈(-
          π
          2
          ,-
          π
          4
          )
          ,則cos2x的值為
          -
          3
          7
          8
          -
          3
          7
          8

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