Question

定義:若對(duì)于給定區(qū)間D內(nèi)任意的實(shí)數(shù)x₁和x₂,都有f()≥［f(x₁)+f(x₂)］,則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的上凸函數(shù).上凸函數(shù)有如下的性質(zhì):

若在上凸函數(shù)f(x)的圖象上依次取n個(gè)(n≥3)點(diǎn)P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),…,P_n(x_n,y_n),則凸n邊到P₁P₂P₃…P_n的重心G()必在函數(shù)y=f(x)的圖象下方或圖象上.

運(yùn)用上述定義或性質(zhì)證明.

(1)f(x)=lgx在區(qū)間(0,+∞)上是上凸函數(shù);

(2)設(shè)x₁,x₂,…,x_n為正實(shí)數(shù),則.

Answer 1

解析：第(1)小題可根據(jù)上凸函數(shù)的定義證明;?第(2)?小題需要先構(gòu)造一個(gè)上凸函數(shù)〔可利用第(1)小題的結(jié)論〕,然后再根據(jù)上凸函數(shù)的性質(zhì)加以證明.

證明：(1)設(shè)x₁,x₂,…,x_n為正實(shí)數(shù),則

f()［f(x₁)+f(x₂)］=lg (lgx₁+lgx₂)=lg=lg.

∵x₁,x₂,…,x_n為正實(shí)數(shù),

∴x₁+x₂≥,即≥1.

又y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),∴l(xiāng)g()≥0.

∴f()≥［f(x₁)+f(x₂)］.

根據(jù)定義,函數(shù)y=lgx是區(qū)間(0,+∞)上的上凸函數(shù).

(2)由(1)知,f(x)=lgx在區(qū)間(0,+∞)上是上凸函數(shù).

設(shè)P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),…,P_n(x_n,y_n)依次是上凸函數(shù)y=lgx上的n個(gè)(n≥3)點(diǎn),根據(jù)上凸函數(shù)的性質(zhì),有

［f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)］,

即lg(x₁x₂…x_n),

亦即.

∵y=lgx在(0,+∞)上是增函數(shù),∴.