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        1. 【題目】如圖所示,三棱柱中,平面,點,分別在線段,上,且,是線段的中點.

          (Ⅰ)求證:平面;

          (Ⅱ)若,,求直線與平面所成角的正弦值.

          【答案】(Ⅰ)證明見詳解;(Ⅱ).

          【解析】

          (Ⅰ)取中點為,根據(jù)幾何關系,求證四邊形為平行四邊形,即可由線線平行推證線面平行;

          (Ⅱ)以為坐標原點,建立空間直角坐標系,求得直線的方向向量和平面的法向量,即可求得線面角的正弦值.

          (Ⅰ)取的中點,連接,.如下圖所示:

          因為,分別是線段的中點,

          所以是梯形的中位線,所以.

          ,所以.

          因為,,

          所以四邊形為平行四邊形,所以.

          所以,.

          所以四邊形為平行四邊形,所以.

          平面,平面,

          所以平面.

          (Ⅱ)因為,且平面,

          故可以為原點,的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,

          如下圖所示:

          不妨設,則,

          所以,,,.

          所以,,.

          設平面的法向量為

          所以

          可取.

          設直線與平面所成的角為,

          .

          故可得直線與平面所成的角的正弦值為.

          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】某土特產(chǎn)超市為預估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況,對2019年元旦期間的90位游客購買情況進行統(tǒng)計,得到如下人數(shù)分布表.

          購買金額(元)

          人數(shù)

          10

          15

          20

          15

          20

          10

          1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關.

          不少于60

          少于60

          合計

          40

          18

          合計

          2)為吸引游客,該超市推出一種優(yōu)惠方案,購買金額不少于60元可抽獎3次,每次中獎概率為(每次抽獎互不影響,且的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率),中獎1次減5元,中獎2次減10元,中獎3次減15.若游客甲計劃購買80元的土特產(chǎn),請列出實際付款數(shù)(元)的分布列并求其數(shù)學期望.

          附:參考公式和數(shù)據(jù):,.

          附表:

          2.072

          2.706

          3.841

          6.635

          7.879

          0.150

          0.100

          0.050

          0.010

          0.005

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時,實行的是費率浮動機制,且保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系.發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費率也就越高,具體浮動情況如下表:

          交強險浮動因素和費率浮動比率表

          浮動因素

          浮動比率

          上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故

          下浮

          上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故

          下浮

          上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故

          下浮

          上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故

          上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故

          上浮

          上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故

          上浮

          某機構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計得到了下面的表格:

          類型

          數(shù)量

          10

          5

          5

          20

          15

          5

          1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率;

          2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設購進一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000.且各種投保類型車的頻率與上述機構(gòu)調(diào)查的頻率一致,完成下列問題:

          ①若該銷售商店內(nèi)有6輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,某顧客欲在店內(nèi)隨機挑選2輛車,求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率;

          ②若該銷售商一次購進120輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求一輛車盈利的平均值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】已知拋物線的焦點F,過F的直線與拋物線交于A,B兩點,則的最小值是______

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】如圖,在三棱柱中,平面,的中點,,.

          (Ⅰ)求證:平面;

          (Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的平面角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線的參數(shù)方程為,為參數(shù)),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過極點的圓.已知曲線上的點M對應的參數(shù),射線與曲線交于點

          1)求曲線的直角坐標方程;

          2)若點AB為曲線上的兩個點且,求的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】在平面直角坐標系中,如圖,已知橢圓E的左、右頂點分別為、,上、下頂點分別為、.設直線傾斜角的余弦值為,圓與以線段為直徑的圓關于直線對稱.

          1)求橢圓E的離心率;

          2)判斷直線與圓的位置關系,并說明理由;

          3)若圓的面積為,求圓的方程.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】鳳梨穗龍眼原產(chǎn)廈門,是廈門市的名果,栽培歷史已有100多年.龍眼干的級別按直徑的大小分為四個等級(如下表).

          級別

          三級品

          二級品

          一級品

          特級品

          某商家為了解某農(nóng)場一批龍眼干的質(zhì)量情況,隨機抽取了100個龍眼干作為樣本(直徑分布在區(qū)間),統(tǒng)計得到這些龍眼干的直徑的頻數(shù)分布表如下:

          頻數(shù)

          1

          29

          7

          用分層抽樣的方法從樣本的一級品和特級品中抽取6個,其中一級品有2.

          1)求、的值,并估計這批龍眼干中特級品的比例;

          2)已知樣本中的100個龍眼干約500克,該農(nóng)場有500千克龍眼干待出售,商家提出兩種收購方案:

          方案:以60/千克收購;

          方案:以級別分裝收購,每袋100個,特級品40/袋、一級品30/袋、二級品20/袋、三級品10/.

          用樣本的頻率分布估計總體分布,哪個方案農(nóng)場的收益更高?并說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】已知離心率為的橢圓經(jīng)過拋物線的焦點,斜率為1的直線經(jīng)過且與橢圓交于兩點.

          1)求面積;

          2)動直線與橢圓有且僅有一個交點,且與直線,分別交于兩點,且為橢圓的右焦點,證明為定值.

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