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        1. 【題目】如圖所示,三棱柱中,平面,點(diǎn),分別在線段上,且,,是線段的中點(diǎn).

          (Ⅰ)求證:平面;

          (Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.

          【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)詳解;(Ⅱ).

          【解析】

          (Ⅰ)取中點(diǎn)為,根據(jù)幾何關(guān)系,求證四邊形為平行四邊形,即可由線線平行推證線面平行;

          (Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求得直線的方向向量和平面的法向量,即可求得線面角的正弦值.

          (Ⅰ)取的中點(diǎn),連接,.如下圖所示:

          因?yàn)?/span>,分別是線段的中點(diǎn),

          所以是梯形的中位線,所以.

          ,所以.

          因?yàn)?/span>,

          所以四邊形為平行四邊形,所以.

          所以,.

          所以四邊形為平行四邊形,所以.

          平面,平面

          所以平面.

          (Ⅱ)因?yàn)?/span>,且平面

          故可以為原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

          如下圖所示:

          不妨設(shè),則

          所以,,,.

          所以,.

          設(shè)平面的法向量為

          所以

          可取.

          設(shè)直線與平面所成的角為,

          .

          故可得直線與平面所成的角的正弦值為.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2020年元旦期間游客購(gòu)買土特產(chǎn)的情況,對(duì)2019年元旦期間的90位游客購(gòu)買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下人數(shù)分布表.

          購(gòu)買金額(元)

          人數(shù)

          10

          15

          20

          15

          20

          10

          1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買金額是否少于60元與性別有關(guān).

          不少于60

          少于60

          合計(jì)

          40

          18

          合計(jì)

          2)為吸引游客,該超市推出一種優(yōu)惠方案,購(gòu)買金額不少于60元可抽獎(jiǎng)3次,每次中獎(jiǎng)概率為(每次抽獎(jiǎng)互不影響,且的值等于人數(shù)分布表中購(gòu)買金額不少于60元的頻率),中獎(jiǎng)1次減5元,中獎(jiǎng)2次減10元,中獎(jiǎng)3次減15.若游客甲計(jì)劃購(gòu)買80元的土特產(chǎn),請(qǐng)列出實(shí)際付款數(shù)(元)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.

          附:參考公式和數(shù)據(jù):,.

          附表:

          2.072

          2.706

          3.841

          6.635

          7.879

          0.150

          0.100

          0.050

          0.010

          0.005

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種,若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時(shí),實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制,且保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系.發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就越高,具體浮動(dòng)情況如下表:

          交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和費(fèi)率浮動(dòng)比率表

          浮動(dòng)因素

          浮動(dòng)比率

          上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

          下浮

          上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

          下浮

          上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

          下浮

          上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

          上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故

          上浮

          上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故

          上浮

          某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格:

          類型

          數(shù)量

          10

          5

          5

          20

          15

          5

          1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率;

          2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車.假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000.且各種投保類型車的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致,完成下列問(wèn)題:

          ①若該銷售商店內(nèi)有6輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選2輛車,求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率;

          ②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)120輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求一輛車盈利的平均值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)F,過(guò)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),則的最小值是______

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,在三棱柱中,平面的中點(diǎn),,.

          (Ⅰ)求證:平面;

          (Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的平面角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線的參數(shù)方程為,為參數(shù)),在以O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓.已知曲線上的點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù),射線與曲線交于點(diǎn)

          1)求曲線,的直角坐標(biāo)方程;

          2)若點(diǎn)A,B為曲線上的兩個(gè)點(diǎn)且,求的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,如圖,已知橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為、,上、下頂點(diǎn)分別為、.設(shè)直線傾斜角的余弦值為,圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對(duì)稱.

          1)求橢圓E的離心率;

          2)判斷直線與圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;

          3)若圓的面積為,求圓的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】鳳梨穗龍眼原產(chǎn)廈門,是廈門市的名果,栽培歷史已有100多年.龍眼干的級(jí)別按直徑的大小分為四個(gè)等級(jí)(如下表).

          級(jí)別

          三級(jí)品

          二級(jí)品

          一級(jí)品

          特級(jí)品

          某商家為了解某農(nóng)場(chǎng)一批龍眼干的質(zhì)量情況,隨機(jī)抽取了100個(gè)龍眼干作為樣本(直徑分布在區(qū)間),統(tǒng)計(jì)得到這些龍眼干的直徑的頻數(shù)分布表如下:

          頻數(shù)

          1

          29

          7

          用分層抽樣的方法從樣本的一級(jí)品和特級(jí)品中抽取6個(gè),其中一級(jí)品有2個(gè).

          1)求的值,并估計(jì)這批龍眼干中特級(jí)品的比例;

          2)已知樣本中的100個(gè)龍眼干約500克,該農(nóng)場(chǎng)有500千克龍眼干待出售,商家提出兩種收購(gòu)方案:

          方案:以60/千克收購(gòu);

          方案:以級(jí)別分裝收購(gòu),每袋100個(gè),特級(jí)品40/袋、一級(jí)品30/袋、二級(jí)品20/袋、三級(jí)品10/.

          用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,哪個(gè)方案農(nóng)場(chǎng)的收益更高?并說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】已知離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),斜率為1的直線經(jīng)過(guò)且與橢圓交于兩點(diǎn).

          1)求面積;

          2)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn),且與直線分別交于兩點(diǎn),且為橢圓的右焦點(diǎn),證明為定值.

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