Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+1 x2 ， x＜- 1 2 ln(x+ 3 2 )  ， x≥- 1 2

，g（x）=x²-4x-4．若存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，則實數(shù)b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）值域，進(jìn)而根據(jù)存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，得到g（b）=b²-4b-4≤1，解不等式可得實數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)x＜-

1

2

時，2x+1＜0，(2x+1)+

1

2x+1

≤-2，
∴

1

4

[(2x+1)+

1

2x+1

]-

1

2

≤-1，
∴

2x+1

x2

=

2x+1

1 4 (2x+1)2- 1 2 (2x+1)+ 1 4

=

1

1 4 [(2x+1)+ 1 2x+1 ]- 1 2

∈[-1，0），
當(dāng)x≥-

1

2

時，x+

3

2

≥1，ln(x+

3

2

)∈[0，+∞），
∴f（x）=

2x+1 x2 ， x＜- 1 2 ln(x+ 3 2 )  ， x≥- 1 2

∈[-1，+∞），
若存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，
則g（b）=b²-4b-4≤1，
即b²-4b-5≤0，
解得b∈[-1，5]，
故答案為：[-1，5]

點評：本題考查的知識點是分段函數(shù)，函數(shù)的值域，基本不等式，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，存在性問題，二次不等式，是函數(shù)和不等式較為綜合的應(yīng)用，難度中檔．