Question

橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓x²+y²-1上，過右焦點(diǎn)作相互相垂直的兩條弦AB，CD，設(shè)M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）證明直線MN恒過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）解：由題意，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓x²+y²-1上
∴b=c=1，∴a²=b²+c²=2
∴橢圓的方程為；
（2）證明：當(dāng)AB的斜率為0或不存在時(shí)，直線MN的方程為y=0；
當(dāng)AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）
直線AB的方程y=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（2k²+1）-4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=
∴M（）
同理可得N（）
∴直線MN的方程為：=
化簡可得（2-2k²）y=3k（x-）
∴直線MN恒過定點(diǎn)（，0）．
分析：（1）根據(jù)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓x²+y²-1上，可得b=c=1，從而可求橢圓的方程；
（2）直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定M、N的坐標(biāo)，可得直線MN的方程，化簡即可得到直線MN恒過定點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線恒過定點(diǎn)，確定直線MN的方程是關(guān)鍵．