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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          (2011•徐匯區(qū)三模)定義:由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓C1
          x2
          4
          +y2=1

          (1)若橢圓C2
          x2
          16
          +
          y2
          4
          =1
          ,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請說明理由;
          (2)寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程;若在橢圓Cb上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱,求實數b的取值范圍?
          (3)如圖:直線l與兩個“相似橢圓”
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =λ2(a>b>0,0<λ<1)
          分別交于點A,B和點C,D,證明:|AC|=|BD|
          分析:(1)分別求出特征三角形是腰長為a 和底邊長為2c,從而得到橢圓的相似比.
          (2)設出橢圓Cb的方程,直線lMN的方程,根據兩點關于直線對稱的性質,求出直線lMN的方程,根據直線lMN與橢圓Cb有兩個不同的交點,判別式大于零,求得實數b的取值范圍.
          (3)直線l與x軸垂直時,易得線段AB與CD的中點重合;直線l不與x軸垂直時,設出直線l的方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程分別求出線段AB與CD的中點,得到中點坐標相同即可說明結論.
          解答:解:(1)橢圓C2與C1相似.-------------------(2分)
          因為橢圓C2的特征三角形是腰長為4,底邊長為4
          3
          的等腰三角形,而橢圓C1的特征三角形是腰長為2,底邊長為2
          3
          的等腰三角形,因此兩個等腰三角形相似,且相似比為2:1-------------------(4分)
          (2)橢圓Cb的方程為:
          x2
          4b2
          +
          y2
          b2
          =1(b>0)
          -------------------(6分)
          設lMN:y=-x+t,點M(x1,y1),N(x2,y2),MN中點為(x0,y0),
          y=-x+t
          x2
          4b2
          +
          y2
          b2
          =1
          ,所以5x2-8tx+4(t2-b2)=0-------------------(8分)
          x0=
          x1+x2
          2
          =
          4t
          5
          ,y0=
          t
          5
          -------------------(9分)
          因為中點在直線y=x+1上,所以有
          t
          5
          =
          4t
          5
          +1
          ,t=-
          5
          3
          -------------------(10分)
          即直線lMN的方程為:lMN:y=-x-
          5
          3
          ,
          由題意可知,直線lMN與橢圓Cb有兩個不同的交點,
          即方程5x2-8(-
          5
          3
          )x+4[(-
          5
          3
          )2-b2]=0
          有兩個不同的實數解,
          所以△=(
          40
          3
          )2-4×5×4×(
          25
          9
          -b2)>0
          ,即b>
          5
          3
          -------------------(12分)
          (3)證明:
          ①直線l與x軸垂直時,易得線段AB與CD的中點重合,所以|AC|=|BD|;-------------------(14分)
          ②直線l不與x軸垂直時,設直線l的方程為:y=kx+n,A(x1,y1),B(x2,y2),
          線段AB的中點(x0,y0),
          y=kx+n
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          ⇒(b2+a2k2)x2+2a2knx+(a2n2-a2b2)=0
          -------(15分)
          x0=
          1
          2
          (x1+x2)=-
          a2kn
          b2+a2k2
          y0=kx0+n=
          nb2
          b2+a2k2
          ⇒線段AB的中點為(-
          a2kn
          b2+a2k2
          nb2
          b2+a2k2
          )
          ----------(16分)
          同理可得線段CD的中點為(-
          a2kn
          b2+a2k2
          ,
          nb2
          b2+a2k2
          )
          ,-------------------(17分)
          即線段AB與CD的中點重合,所以|AC|=|BD|-------------------(18分)
          點評:本題考查直線和圓錐曲線的位置關系,兩點關于直線對稱的性質,求直線MN的方程是解決第二問的關鍵,而第三問的關鍵在于分析出:線段AB與CD的中點重合⇒|AC|=|BD|.
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          12
          21
          ,且解為
          x
          y
          =
          1
          1
          的一個線性方程組是
          x+2y=3
          2x+y=3
          x+2y=3
          2x+y=3

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