Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0．
（1）寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在斜率為1的直線m，使m被圓C截得的弦為AB，且以AB為直徑的圓過原點．若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵x²+y²-2x+4y-4=0，
∴（x-1）²+（y+2）²=3²，
（2）設(shè)存在斜率為1的直線m，其方程為y=x+b，
與圓C的方程x²+y²-2x+4y-4=0聯(lián)立得：2x²+（2b+2）x+b²+4b-4=0，
∵△=4（b+1）²-8（b²+4b-4）＞0，
∴-3-3

2

＜b＜-3+3

2

，
設(shè)交點A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），x₁、x₂為方程2x²+（2b+2）x+b²+4b-4=0的兩根，
∴x₁+x₂=-（b+1），x₁x₂=

b2+4b-4

2

，
∵以AB為直徑的圓過原點，
∴向量

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，
∴b²+3b-4=0
∴b=-4或b=1，均滿足-3-3

2

＜b＜-3+3

2

，
∴m為y=x+1 或 y=x-4