Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，為中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）線段上是否存在，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）由于三角形為等腰三角形，所以，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，有；（2）連接，易得所以四邊形是平行四邊形，所以是異面直線與所成的角.解直角三角形得余弦值為；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得它到平面的距離為.設(shè)，則，利用等體積法，求得，且.

試題解析：

（1）證明：在中，為中點(diǎn)，所以.

又，

所以.

（2）解：連接，在直角梯形中，，

有且，所以四邊形是平行四邊形，

所以.

由（1）知，為銳角，

所以是異面直線與所成的角.

因?yàn)?/span>，在中，，所以，

在中，因?yàn)?/span>，所以，

在中，，所以，

所以異面直線與所成的角的余弦值為.

（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)，使得它到平面的距離為.

設(shè)，則，由（2）得，

在中，，

所以，

由得，所以存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí).