Question

已知x=

1

2

是f(x)=2x-

b

x

+lnx的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g(x)=f(x)-

1

x

，試問過點(diǎn)（2，5）可作多少條曲線y=g（x）的切線？為什么？

Answer 1

分析：（Ⅰ）解f′（

1

2

）=0得到b值，再驗(yàn)證x=

1

2

為極值點(diǎn)．
（Ⅱ）在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0即可．
（Ⅲ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，表示出切線方程，轉(zhuǎn)化為方程的解的個(gè)數(shù)問題，進(jìn)一步利用數(shù)形結(jié)合即可求得．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′（x）=2+

b

x2

+

1

x

，∵x=

1

2

是f(x)=2x-

b

x

+lnx的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（

1

2

）=0，即 2+4b+2=0，得b=-1，當(dāng)b=-1時(shí)，f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x2

，
當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，所以x=

1

2

為f（x）的極小值點(diǎn)，
所以b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x2

，令f′（x）＞0得x＞

1

2

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[

1

2

，+∞)．
（Ⅲ）g(x)=f(x)-

1

x

=2x+lnx，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，2x₀+lnx₀），則斜率為2+

1

x0

，切線方程為：y-2x₀-lnx₀=（2+

1

x0

）（x-x₀）．
∴又切線過點(diǎn)（2，5），∴5-2x₀-lnx₀=（2+

1

x0

）（2-x₀），
即lnx0+

2

x 0

-2=0，令h（x）=lnx+

2

x

-2，
則h′（x）=

1

x

-

2

x 2

=0，得x=2．
h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增又∵h(

1

2

)=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h(e2)=

2

e2

＞0
∴h（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
故過點(diǎn)（2，5）可作2條曲線y=g（x）的切線．

點(diǎn)評：本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性問題，難度稍大，注意本題中數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．