Question

21．如圖，橢圓Q:=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c，0)，過點(diǎn)F的一動直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)．

  (1)求點(diǎn)P的軌跡H的方程；

  (2)若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ(0＜θ≤).確定θ的值，使原點(diǎn)距橢圓Q的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)．此時，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動到什么位置時，三角形ABD的面積最大?

Answer 1

解：如圖，

 

（1）設(shè)橢圓Q：=1上的點(diǎn)A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x,y），則

1°當(dāng)AB不垂直x軸時，x₁≠x₂,

由①-②得

b²(x₁-x₂)2x+a²(y₁-y₂)2y=0,

∴

∴b²x²+a²y²-b²cx=0,  ……………（*）

2°當(dāng)AB垂直于x軸時，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程(*).

故所求點(diǎn)P的軌跡H的方程為：b²x²+a²y²-b²cx=0.

（2）因?yàn)�，橢圓Q右準(zhǔn)線l方程是x=,原點(diǎn)距橢圓Q的右準(zhǔn)線l的距離為，

由于c²=a²-b²,a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ(0＜θ≤).

則=.

當(dāng)θ=時，上式達(dá)到最大值，所以當(dāng)θ=時，原點(diǎn)距橢圓Q的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn).

此時a²=2,b²=1,c=1,D(2,0),|DF|=1.

設(shè)橢圓Q：=1上的點(diǎn)A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂)，

△ABD面積S=|y₁|+|y₂|=|y₁-y₂|.

設(shè)直線m的方程為x=ky+1,代入=1中，得(2+k²)y²+2ky-1=0.

由韋達(dá)定理得y₁+y₂=-,y₁y₂=-,

4S²=(y₁-y₂)²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=,

令t=k²+1≥1,得4S²≤=2,當(dāng)t=1,k=0取等號.

因此，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大.