Question

（06年江西卷理）（12分）

如圖，橢圓Q：（a>b>0）的右焦點(diǎn)F（c，0），過點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)

（1）求點(diǎn)P的軌跡H的方程

（2）在Q的方程中，令a²＝1＋cosq＋sinq，b²＝sinq（0<q£ ），確定q的值，使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)，此時(shí)，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形ABD的面積最大？

Answer 1

解析：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（a>b>0）

上的點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則

1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x₁¹x₂，

由（1）－（2）得

b²（x₁－x₂）2x＋a²（y₁－y₂）2y＝0

     

\b²x²＋a²y²－b²cx＝0…………（3）

2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3）

故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b²x²＋a²y²－b²cx＝0

（2）因?yàn)�，橢圓  Q右準(zhǔn)線l方程是x＝，原點(diǎn)距l(xiāng)

的距離為，由于c²＝a²－b²，a²＝1＋cosq＋sinq，b²＝sinq（0<q£）

則＝＝2sin（＋）

當(dāng)q＝時(shí)，上式達(dá)到最大值。此時(shí)a²＝2，b²＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1

設(shè)橢圓Q：上的點(diǎn) A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），三角形ABD的面積

S＝|y₁|＋|y₂|＝|y₁－y₂|

設(shè)直線m的方程為x＝ky＋1，代入中，得（2＋k²）y²＋2ky－1＝0

由韋達(dá)定理得y₁＋y₂＝，y₁y₂＝，

4S²＝（y₁－y₂）²＝（y₁＋y₂）²－4 y₁y₂＝

令t＝k²＋1³1，得4S²＝，當(dāng)t＝1，k＝0時(shí)取等號(hào)。

因此，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時(shí)，三角形ABD的面積最大。