Question

在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥BC，D為AB中點(diǎn)，CB=1，AC=

3

，異面直線C₁D與A₁B₁所成角大小為arccos

1

4

．
（1）求三棱柱A₁B₁C₁-ABC的體積；
（2）求二面角D-BC₁-C的大�。�

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求出棱柱底面面積和高，代入棱柱體積公式后，可得答案．
（2）求出是平面BCC₁的一個(gè)法向量和平面BDC₁的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可得二面角D-BC₁-C的平面角的余弦值，進(jìn)而可得二面角D-BC₁-C的大小．

解答：解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)AA₁=a，則A（

3

，0，0），B（0，1，0），D（

3

2

，

1

2

，0），C₁（0，0，a）
∴

A1B1

=

AB

=（-

3

，1，0），

DC1

=(-

3

2

，-

1

2

，a)
∴cos＜

A1B1

，

DC1

＞=

3 2 - 1 2

2× 1+a2

=

1

4

，
解得a=

3

即棱柱的高AA₁=

3

∴三棱柱A₁B₁C₁-ABC的體積V=

1

2

×CA×CB×AA₁=

3

2

（2）顯然，

n1

=(1，0，0)是平面BCC₁的一個(gè)法向量，
設(shè)

n2

=(m，n，1)為平面BDC₁的一個(gè)法向量，
∵

BC1

=(0，-1，

3

)，

BD

=(

3

2

，-

1

2

，0)
∴

n2 • BD = 3 2 m- 1 2 n=0 n2 • BC1 =-n+ 3

解得

m=1 n= 3

∴

n1

=(1，

3

，1)
cos＜

n1

，

n2

＞=

1

1× 5

=

5

5

所以二面角D-BC₁-C的大小為arccos

5

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，棱柱的體積公式，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間夾角問題轉(zhuǎn)化為向量問題是解答本題的關(guān)鍵．