Question

【題目】在三棱錐P﹣ABC中，底面ABC是邊長為6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB與底面ABC所成的角為 ．
（1）求三棱錐P﹣ABC的體積；
（2）若M是BC的中點，求異面直線PM與AB所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥平面ABC，

∴∠PBA為PB與平面ABC所成的角，即 ，

∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，又AB=6，∴ ，

∴

（2）解：取棱AC的中點N，連接MN，NP，

∵M，N分別是棱BC，AC的中點，

∴MN∥BA，∴∠PMN為異面直線PM與AB所成的角．

∵PA⊥平面ABC，所以PA⊥AM，PA⊥AN，

又 ，AN= AC=3，BM= BC=3，

∴AM= =3 ， ， ，

所以 ，

故異面直線PM與AB所成的角為 ．

【解析】（1）在Rt△PAB中計算PA，再代入棱錐的體積公式計算；（2）取棱AC的中點N，連接MN，NP，分別求出△PMN的三邊長，利用余弦定理計算cos∠PMN即可．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角的相關(guān)知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系才能正確解答此題．