Question

0＜a＜1，0＜b＜1且a^b=b^a，試比較a與b的大�。�

Answer 1

分析：分a＞b、a＜b、及a=b三種情況討論，a＞b＜時，等式兩邊同時除以 b^b后分析等式兩邊能否相等；
a＜b時，等式兩邊同時除以 a^a后分析等式兩邊能否相等．

解答：解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，且a^b=b^a，∴

a

b

＞1，
當a＞b時應有(

a

b

)b=b^a-b，此等式的左邊大于1，右邊大于0且小于1，故此等式不成立，
故a＞b不可能．
當a＜b時，

b

a

＞1，由條件得 a^b-a=(

b

a

)a，此等式的左邊大于0且小于1，
右邊大于1，故此等式不成立，故a＜b不可能．
當a=b時，a^b=b^a 恒成立，
綜上，只有a=b．

點評：本題考查利用指數函數的單調性及特殊點，比較2個實數大小的方法，體現了分類討論的數學思想．