已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,證明:當(dāng)
時,
;
(2)當(dāng)時,證明:
.
(1)證明過程詳見解析;(2)證明過程詳見解析.
解析試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問,將當(dāng)時,
轉(zhuǎn)化為
,對函數(shù)
求導(dǎo),利用
單調(diào)遞增,
單調(diào)遞減,來判斷函數(shù)的單調(diào)性來決定函數(shù)最值,并求出最值為0,即得證;第二問,先將
轉(zhuǎn)化為
且
,利用導(dǎo)數(shù)分別判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)最值,分別證明即可.
(1)時,
,
令,
,∴
在
上為增函數(shù) 3分
,∴當(dāng)
時,
,得證. 6分
(2)
令,
,
時,
,
時,
即在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù) 9分
∴ ①
令,
,
∴時,
,
時,
即
在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù)
∴ ②
∴由①②得 . 12分
考點:導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
用總長為14.8米的鋼條制成一個長方體容器的框架,如果所制的容器的底面的長比寬多0.5米,那么高為多少時容器的容器最大?并求出它的最大容積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(14分)(2011•天津)已知函數(shù)f(x)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1,x∈R,其中t∈R.
(Ⅰ)當(dāng)t=1時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)t≠0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)證明:對任意的t∈(0,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(其中
),
為f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)求證:曲線y=在點(1,
)處的切線不過點(2,0);
(2)若在區(qū)間中存在
,使得
,求
的取值范圍;
(3)若,試證明:對任意
,
恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,若對于任意的
,都有
成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2013•重慶)設(shè)f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6).
(1)確定a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),且
.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)函數(shù),若函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在
上是增函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍;
(2)若函數(shù)在
上的最小值為3,求實數(shù)
的值.
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