Question

如圖；在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=2，AB=6，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與直線BD相切的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)

AP

=m

AD

+n

AB

(m，n∈R)，則m+n的取值范圍是

[1，

5

3

]

．

Answer 1

分析：建立直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出BD的方程，求出圓的方程；設(shè)出P的坐標(biāo)，求出三個(gè)向量的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)用m，n表示，代入圓內(nèi)方程求出范圍．

解答：解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），D（0，2），C（2，2），B（6，0）
直線BD的方程為x+3y-6=0，C到BD的距離d=

2

10

=

10

5

∴以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓方程為（x-2）²+（y-2）²=

2

5

，
設(shè)P（x，y）則

AP

=（x，y），

AD

=（0，2），

AB

=（6，0）
∴（x，y）=（6n，2m）
∴x=6n，y=2m，
∵P在圓內(nèi)或圓上
∴（6n-1）²+（2m-1）²≤

2

5

，
解得1≤m+n≤

5

3

．
故答案為：[1，

5

3

]．

點(diǎn)評(píng)：通過建立直角坐標(biāo)系將問題代數(shù)化、考查直線與圓相切的條件、考查向量的坐標(biāo)公式．